Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（2）當(dāng)a≥0時，討論方程

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0的解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，然后用導(dǎo)數(shù)求出極值，比較它們的大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值；
（2）恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性及其最值，結(jié)合圖象即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-4x+1，∵f′（x）＞0⇒x＞1或x＜

1

3

，∴f（x）在[

1

2

，1]上遞減，在（1，2]上遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0，又f（

1

2

）=

1

8

，f（2）=2，
∴f（x）_max=f（2）=2．
（2）

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0?

1

2

x2-alnx=0，令g（x）=

1

2

x2-alnx，
則g′（x）=

(x- a )(x+ a )

x

，
①當(dāng)a=0時，g（x）=

1

2

x2，則g（x）=0在（0，+∞）上無解；
②當(dāng)a＞0時，則g（x）在（0，

a

）上遞減，在（

a

，+∞）上遞增，
∴g(x)min=g(

a

)=

a

2

-

a

2

lna，
又∵當(dāng)x→0時，g（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時，g（x）→+∞，∴
（�。┊�(dāng)

a

2

-

a

2

lna＞0即0＜a＜e時，g（x）=0在（0，+∞）上無解；
（ⅱ）當(dāng)

a

2

-

a

2

lna=0即a=e時，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
（ⅲ）當(dāng)

a

2

-

a

2

lna＜0即a＞e時，g（x）=0在（0，+∞）上有兩解；
綜上：當(dāng)a＞e時，g（x）=0在（0，+∞）上有兩解；當(dāng)a=e時，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
當(dāng)0≤a＜e時，g（x）=0在（0，+∞）上無解．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值、單調(diào)性問題，考查分析問題、解決問題的能力，本題中滲透了分類討論思想及函數(shù)與方程思想．