如圖2,已知任意兩個非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎?為什么?

圖2

活動:本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖,通過觀察圖形得到A,B,C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點共線.本題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思路,具體過程可由學(xué)生自己完成.另外,本題是一個很好的與信息技術(shù)整合的題材,教學(xué)中可以通過計算機作圖,進行動態(tài)演示,揭示向量a、b變化過程中,A、B、C三點始終在同一條直線上的規(guī)律.

圖3

解:如圖3,分別作向量、、,過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn),不論向量a、b怎樣變化,點B始終在直線AC上,猜想A、B、C三點共線.

事實上,因為=-=a+2b-(a+b)=b,

而=-=a+3b-(a+b)=2b,

于是=2.

所以A、B、C三點共線.

點評:關(guān)于三點共線問題,學(xué)生接觸較多,這里是用向量證明三點共線,方法是必須先證明兩個向量共線,并且有公共點.教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進行反思,體會向量證法的獨特新穎.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列四個命題中，真命題的序號有
①③④
①③④
（寫出所有真命題的序號）．
①兩個相互垂直的平面，一個平面內(nèi)的任意一直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線．
②圓x2+y2+4x+2y+1=0與直線y=
1
2
x相交，所得弦長為2．
③若sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3
，則tanαcotβ=5．
④如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，P為底面ABCD內(nèi)一動點，P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖，已知α、β是坐標平面內(nèi)的任意兩個角，且0≤α-β≤π，證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）已知α∈(0，
π
2
)，β∈(
π
2
，π)，且cosβ=-
1
3
，sin(α+β)=
7
9
，求2cos2α+cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點A（-2，0），點P是⊙B：（x-2）2+y2=36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知⊙O：x2+y2=r2（r＞0）的切線l總與曲線C有兩個交點M、N，并且其中一條切線滿足∠MON＞90°，求證：對于任意一條切線l總有∠MON＞90°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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