Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

1

2

AB，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使點(diǎn)A折到點(diǎn)P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°．
（1）求證：DE⊥PC；
（2）求直線PD與平面BCDE所成角的大�。�
（3）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意CD∥AB，得到∠BAC=∠ACD，再有變長(zhǎng)的相等的角的相等及特殊的三角形得到線線垂直，在有線線垂直的線面垂直進(jìn)而推出線線垂直；
（2）利用二面角的平面角定義找到二面角的平面角，然后在Rt△POD中解出二面角的大小即可；
（3）利用線面平行進(jìn)而把點(diǎn)D轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到面得距離，在利用面面垂直得到垂足的位置，然后在三角形中解出所求線段的長(zhǎng)度．

解答：證明：（1）連接AC交DE于F，連接PF，
∵CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD，
又∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD，
∴∠BAC=∠DAC，即CA平分∠BAD，
∵△ADE是正三角形，
∴AC⊥DE，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC
（2）解：過(guò)P作PO⊥AC于O，連接OD，設(shè)AD=DC=CB=a，則AB=2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直線PD與平面BCDE所成的角．
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO=60°，在Rt△POD中，sin∠PDO=

PO

PD

=

3

4

，∴直線PD與平面BCDE所成角是arcsin

3

4

（3）解：∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D點(diǎn)到面PBC的距離即為點(diǎn)F到面PBC的距離，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PC，垂足為G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的長(zhǎng)即為點(diǎn)F到面PBC的距離，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF=CF=

3

2

a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG=

1

2

PF=

3

4

a

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想想能力，還考查了利用線面平行的性質(zhì)，把要求的點(diǎn)到面得距離轉(zhuǎn)化為易求的點(diǎn)到面得距離，并利用面面垂直找到點(diǎn)在面內(nèi)的垂足的位置，此外還考查了學(xué)生利用反三角函數(shù)的知識(shí)表示角的大�。�