如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

(Ⅰ)證明：BD⊥PC；

(Ⅱ)若AD＝4，BC＝2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60R0/0024/0019/1c2198a050dbe62bcdd8b3384aa82511/C/Image161.gif" width=336 height=22>

　　又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，

　　而平面PAC，所以．

　　(Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連接PO，由(Ⅰ)知，BD平面PAC，

　　所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而．

　　由BD平面PAC，平面PAC，知．

　　在中，由，得PD＝2OD．

　　因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

　　在等腰三角形ＡＯＤ中，

　　所以

　　故四棱錐的體積為．


提示：

本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算．第一問只要證明BD⊥平面PAC即可，第二問由(Ⅰ)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由V＝×S×PA算得體積．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對(duì)角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�
（3）求點(diǎn)A到面EBD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設(shè)PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

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