Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，點(diǎn)F在CE上，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）判斷平面ADE與平面BCE是否垂直，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BC⊥平面ABE，然后說(shuō)明平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）法一：連接BD交AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)D與點(diǎn)B到平面ACE的距離相等．轉(zhuǎn)化為求B到平面ACE的距離，解Rt△CBE，即可．
法二：連接BD交AC與點(diǎn)M，說(shuō)明BF為點(diǎn)B到平面ACE的距離，應(yīng)用V_D-ACE=V_E-ACD，求出相關(guān)數(shù)據(jù)即可求出點(diǎn)D到平面ACE的距離．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锽F⊥平面ACE，所以BF⊥AE．（2分）
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，所以BC⊥平面ABE，
從而B(niǎo)C⊥AE．（5分）
于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE．（6分）

（Ⅱ）方法一：連接BD交AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)D與點(diǎn)B到平面ACE的距離相等．
因?yàn)锽F⊥平面ACE，所以．（8分）
因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又AE=BE，所以△AEB是等腰直角三角形．
因?yàn)锳B=2，所以BE=2sin45°=

2

．（9分）
在Rt△CBE中，CE=

BC2+BE2

=

6

．（10分）
所以BF=

BC×BE

CE

=

2 2

6

=

2 3

3

．
故點(diǎn)D到平面ACE的距離是

2 3

3

．

方法二：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD．
因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥BE．又AE=BE，
所以△AEB是等腰直角三角形，
從而G為AB的中點(diǎn)．又AB=2，所以EG=1．（8分）
因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥EC．
又AE=BE=2sin45°=

2

，CE=

BC2+BE2

=

6

．（．（10分）
設(shè)點(diǎn)D到平面ACE的距離為h，因?yàn)閂_D-ACE=V_E-ACD，
則

1

3

S△ACE• h= 

1

3

S△ACD •EG．
所以h=

1 2 AD•DC•EG

1 2 AE• EC

=

2×2×1

2 × 6

=

2 3

3

，
故點(diǎn)D到平面ACE的距離是

2 3

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，點(diǎn)到平面的距離，考查邏輯思維能力，是中檔題．