Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，點F在CE上，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）判斷平面ADE與平面BCE是否垂直，并說明理由；
（Ⅱ）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BC⊥平面ABE，然后說明平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）法一：連接BD交AC與點M，則點M是BD的中點，說明點D與點B到平面ACE的距離相等．轉化為求B到平面ACE的距離，解Rt△CBE，即可．
法二：連接BD交AC與點M，說明BF為點B到平面ACE的距離，應用V_D-ACE=V_E-ACD，求出相關數(shù)據(jù)即可求出點D到平面ACE的距離．

解答：解：（Ⅰ）因為BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE．（2分）
因為平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，所以BC⊥平面ABE，
從而BC⊥AE．（5分）
于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE．（6分）

（Ⅱ）方法一：連接BD交AC與點M，則點M是BD的中點，
所以點D與點B到平面ACE的距離相等．
因為BF⊥平面ACE，所以．（8分）
因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又AE=BE，所以△AEB是等腰直角三角形．
因為AB=2，所以BE=2sin45°=

2

．（9分）
在Rt△CBE中，CE=

BC2+BE2

=

6

．（10分）
所以BF=

BC×BE

CE

=

2 2

6

=

2 3

3

．
故點D到平面ACE的距離是

2 3

3

．

方法二：過點E作EG⊥AB，垂足為G，
因為平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD．
因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．又AE=BE，
所以△AEB是等腰直角三角形，
從而G為AB的中點．又AB=2，所以EG=1．（8分）
因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥EC．
又AE=BE=2sin45°=

2

，CE=

BC2+BE2

=

6

．（．（10分）
設點D到平面ACE的距離為h，因為V_D-ACE=V_E-ACD，
則

1

3

S△ACE• h= 

1

3

S△ACD •EG．
所以h=

1 2 AD•DC•EG

1 2 AE• EC

=

2×2×1

2 × 6

=

2 3

3

，
故點D到平面ACE的距離是

2 3

3

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，點到平面的距離，考查邏輯思維能力，是中檔題．