分析:(1)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式左右兩邊,然后兩邊同時(shí)除以c化簡后,再利用正弦定理變形,根據(jù)cosAcosB≠0,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得到tanB=3tanA;
(2)由C為三角形的內(nèi)角,及cosC的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值,進(jìn)而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanC的值,由tanC的值,及三角形的內(nèi)角和定理,利用誘導(dǎo)公式求出tan(A+B)的值,利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后,將tanB=3tanA代入,得到關(guān)于tanA的方程,求出方程的解得到tanA的值,再由A為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù).
解答:解:(1)∵
•
=3
•
,
∴cbcosA=3cacosB,即bcosA=3acosB,
由正弦定理
=
得:sinBcosA=3sinAcosB,
又0<A+B<π,∴cosA>0,cosB>0,
在等式兩邊同時(shí)除以cosAcosB,可得tanB=3tanA;
(2)∵cosC=
,0<C<π,
sinC=
=
,
∴tanC=2,
則tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,
∴
=-2,
將tanB=3tanA代入得:
=-2,
整理得:3tan
2A-2tanA-1=0,即(tanA-1)(3tanA+1)=0,
解得:tanA=1或tanA=-
,
又coaA>0,∴tanA=1,
又A為三角形的內(nèi)角,
則A=
.
點(diǎn)評(píng):此題屬于解三角形的題型,涉及的知識(shí)有:平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,正弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正切函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.