Question

已知α、β∈（0，π），tanα=-

1

3

，tan（α+β）=1．
（I）求tanβ及cosβ的值；
（II）求

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

的值．

Answer 1

分析：（I）先進行角的變換，由β=α+β-α，得tanβ=tan(α+β-α)=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)•tanα

代入已知，可求出tanβ，再由同角三角函數(shù)的關系求出cosβ
（II）先求出sin(

π

2

-β)，再對

2?

cos(2β-

π

4

)用差角公式展開求出它的值，然后就可求出

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

的值

解答：解：（I）tanβ=tan(α+β-α)=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)•tanα

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2（3分）
∵β∈（0，π），tanβ＞0，∴β∈(0，

π

2

)，∴cosβ=

5

5

；（6分）
（II）sinβ=

1-cos2β

=

2 5

5

∴

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

=

1+cos2β+sin2β

cosβ

=

2cos2β+2sinβcosβ

cosβ

=2cosβ+2sinβ=

6 5

5

．（12分）

點評：本題考查同角三角函數(shù)基本關系的運用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)中的相關公式及符號判斷的規(guī)則，正確利用這些性質(zhì)求出函數(shù)值，本題在求值過程中用到了角的變換，這是所求的三角函數(shù)值的角與已知三角函數(shù)值的角之間關系式學采用的技巧，其規(guī)律是用已知表示未知．