Question

已知數(shù)列a₁,a₂,…,a₃₀,其中a₁,a₂,…,a₁₀是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差為d的等差數(shù)列；a₂₀,a₂₁,…,a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列(d≠0).

(1)若a₂₀=40,求d.

(2)試寫出a₃₀關于d的關系式，并求a₃₀的取值范圍.

(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a₃₀,a₃₁,…,a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列，……依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同(2)類似的問題((2)應當作為特例)，并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

解：(1)a₁₀=10,a₂₀=10+10d=40,

∴d=3.

(2)a₃₀=a₂₀+10d²=10(1+d+d²)(d≠0),

a₃₀=10［(d+)²+］,

當d∈(-∞,0)∪(0,+∞)時，a₃₀∈［7.5,+∞).

(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{a_n}，其中a₁,a₂,…,a₁₀是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當n≥1時，數(shù)列a_10n,a_10n+1,…,a_10(n+1)是公差為dⁿ的等差數(shù)列.

研究的問題可以是：試寫出a_10(n+1)關于d的關系式，并求a_10(n+1)的取值范圍.

研究的結論可以是：由a₄₀=a₃₀+10d³=10(1+d+d²+d³),?

依次類推可得a_10(n+1)=10(1+d+…+dⁿ)=

當d＞0時，a_10(n+1)的取值范圍為(10,+∞)等.