Question

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°=

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，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°=

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（1）觀察上述式子的特點，歸納出一般的結論；
（2）證明歸納出的結論．

Answer 1

分析：（1）觀察所給的等式，等號左邊是sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°、sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°…規(guī)律應該是sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）；右邊的式子：

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，寫出結果．
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）利用三角函數(shù)的差角公式化得sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）整理得

3

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sin²α+

3

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cos²α，即可得證．

解答：解：（1）觀察等式：
sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°=

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，sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°=

3

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，…，
照此規(guī)律，可以得到的一般結果應該是
sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）=

3

4

，
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin²α+

3

4

cos²α+

1

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

．得證．

點評：本題考查類比推理，考查對于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過觀察、類比、猜想出一般規(guī)律，該題著重考查了類比的能力．