Question

如圖，A，B，C是直線上三點(diǎn)，P是直線外一點(diǎn)，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，則

PA

•

PC

=

-

4

7

．

Answer 1

分析：取PC中點(diǎn)D，連結(jié)BD，設(shè)BD=x．利用三角形中位線定理與含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，算出∠BDC=120°，CD=PD=2x．在△BCD中利用余弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)建立關(guān)于x的方程，解出x=

7

7

，即BD=

7

7

，從而得出PA=

2 7

7

且PC=

4 7

7

．最后利用數(shù)量積的公式加以計(jì)算，可得

PA

•

PC

的值．

解答：解：取PC中點(diǎn)D，連結(jié)BD．設(shè)BD=x，
∵BD是△PAC的中位線，∴BD∥PA且BD=

1

2

PA．
∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，
∵∠BPD=30°，BD=x，∴PD=2BD=2x，CD=PD=2x，
△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+30°=120°，BC=1，
由余弦定理，得BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC=1，
即x²+4x²-2x•2xcos120°=1，解之得x=

7

7

，即BD=

7

7

．
∴PA=2BD=

2 7

7

，PC=4BD=

4 7

7

，
可得

PA

•

PC

=

|PA|

•

|PC|

•cos∠APC=

2 7

7

×

4 7

7

×（-

1

2

）=-

4

7

．
故答案為：-

4

7

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的中線與一條邊垂直且與另一邊成30度角，求向量的數(shù)量積．著重考查了向量數(shù)量積計(jì)算公式、三角形中位線定義及其應(yīng)用、利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．