Question

計算由直線y=x-4，曲線y=

2x

以及x軸所圍成圖形的面積S．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫出所圍圖形，求出直線y=x-4，曲線y=

2x

的交點(diǎn)坐標(biāo)，求面積時，解法1：將y看成積分變量，s=

∫

4 0

(y+4-

1

2

y2 )dy，解法2：利用補(bǔ)的方法得s=

∫

8 0

2x

dx-

1

2

×4×4，解法3：利用割的方法得s=

∫

8 0

2x

dx-

∫

8 4

(x-4)dx，最后利用定積分的定義解之即可．

解答：解：作出直線y=x-4，曲線y=

2x

的草圖，
所求面積為圖中陰影部分的面積．
解方程組

y=x-4 y= 2x

得直線y=x-4與曲線y=

2x

交點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，4）．
直線y=x-4與x軸的交點(diǎn)為（4，0）．因此，所求圖形的面積為
（解法1）s=

∫

4 0

(y+4-

1

2

y2)dy=[

1

2

y2+4y-

1

6

y3]

.

4 0

=

40

3

（解法2）s=

∫

8 0

2x

dx-

1

2

×4×4=

2

×

2

3

x

3

2

.

8 0

-8=

40

3

．
（解法3）s=

∫

8 0

2x

dx-

∫

8 4

(x-4)dx=

2

×

2

3

x

3

2

.

8 0

-[

1

2

x2-4x]

.

8 4

=

40

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用定積分在面積中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出積分的上下限，難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．