Question

已知，函數(shù)

（1）求的極小值；

（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若在（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2） 的取值范圍是．

（3）要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需．

【解析】

試題分析：（1）由題意，，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故．  4分

（2） ，，由于在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范圍是． 9分

（3）構(gòu)造函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，由得，，，所以在上不存在一個(gè)，使得．

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813151475322169/SYS201305181315578938731689_DA.files/image025.png">，所以，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，所以要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需，解得，故的取值范圍是．

另法:（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，由，得 ， 令，則，所以在上遞減，．

綜上，要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需．

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式恒成立問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，最終確定最值情況。涉及恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，得到解題目的。