Question

某學(xué)校擬建一座長60米，寬30米的長方形體育館．按照建筑要求，每隔x米需打建一個(gè)樁位，每個(gè)樁位需花費(fèi)4.5萬元（樁位視為一點(diǎn)且打在長方形的邊上），樁位之間的x米墻面需花萬元，在不計(jì)地板和天花板的情況下，當(dāng)x為何值時(shí)，所需總費(fèi)用最少？

Answer 1

【答案】分析：由題意可得出需打的樁位個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到墻面所需費(fèi)用和所需總費(fèi)用的函數(shù)表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)研究它的極值，進(jìn)而得出此函數(shù)的最大值即可．
解答：解：由題意可知，需打個(gè)樁位．（3分）
墻面所需費(fèi)用為：，（5分）
∴所需總費(fèi)用=（0＜x＜30）（9分）
令，則，
當(dāng)0＜x＜3時(shí)，t′＜0；當(dāng)3＜x＜30時(shí)，t′＞0．
∴當(dāng)x=3時(shí)，t取極小值為．
而在（0，30）內(nèi)極值點(diǎn)唯一，所以．
∴當(dāng)x=3時(shí)，（萬元），
即每隔3米打建一個(gè)樁位時(shí)，所需總費(fèi)用最小為1170萬元．（14分）
點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把問題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這需要通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定．當(dāng)函數(shù)定義域是開區(qū)間且在區(qū)間上只有一個(gè)極值時(shí)，這個(gè)極值就是它的最值．