已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,2),且f′(x)=-2x+2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的圖象與直線y=2圍成的封閉圖形的面積.
分析:(1)設(shè)出二次函數(shù)的解析式,將已知條件轉(zhuǎn)化為系數(shù)滿足的方程,求出系數(shù)即得f(x)的解析式.
(2)求出f(x)與y=2的交點坐標(biāo),將曲邊圖象的面積用定積分不是,利用微積分基本定理求出值.
解答:解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
則f'(x)=2ax+b=-2x+2,
2a=-2
b=2
,即
a=-1
b=2

又f(0)=c=2,故f(x)的解析式為f(x)=-x2+2x+2.
(2)令-x2+2x+2=2,解得x=0或x=2,
所以f(x)的圖象與直線y=2交于點(0,2)和點(2,2).
記所求的面積為S,
S=
2
0
[(-x2+2x+2)-2]dx=
2
0
(-x2+2x)dx=
(-
1
3
x3+x2)|
2
0
=
4
3
點評:求函數(shù)模型已知的函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法;求曲邊圖象的面積時用定積分解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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