Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R）其中a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f（x）=0得（x²+ax-2a²+3a）e^x=0．則x²+ax-2a²+3a=0．由于函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，故△＜0，從而得解．
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a進(jìn)行討論，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)a的不同取值得出的結(jié)論綜上所述即可．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）=0得（x²+ax-2a²+3a）e^x=0．
∵e^x＞0，
∴x²+ax-2a²+3a=0．
∵函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，
∴△＜0
∴0＜a＜

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（Ⅱ）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f′（x）=0  解得x=-2a  或x=a-2以下分三種情況討論．
（1）若a＞

2

3

，則-2a＜a-2．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化如下表：

所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)在（-a，a-2）內(nèi)是減函數(shù)
函數(shù)f（x）在x=2處取得極大值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（2）若a＜

2

3

則-2a＞a-2
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化如下表：

函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（3）若a=

2

3

則-2a=a-2函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，做題時(shí)要注意對a進(jìn)行討論，最后得出函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間．