Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點．

(1)求證：GH∥平面CDE；
(2)若CD＝2，DB＝4，求四棱錐F—ABCD的體積．

Answer 1

（1）見解析   （2）16

(1)證明　方法一　∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.
又EF＝AD＝BC，∴四邊形EFBC是平行四邊形，
∴H為FC的中點．
又∵G是FD的中點，∴HG∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.

方法二　連接EA，∵ADEF是正方形，
∴G是AE的中點．
∴在△EAB中，GH∥AB.
又∵AB∥CD，∴GH∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
(2)解　∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，
且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.
∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.
又∵CD＝2，DB＝4，CD²＋DB²＝BC²，∴BD⊥CD.
∵S_?ABCD＝CD·BD＝8，
∴V_F—ABCD＝S_?ABCD·FA＝×8×6＝16.