Question

已知C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=81，則C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=

16

．

Answer 1

分析：由二項(xiàng)式定理可得，C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=（1+2）ⁿ，結(jié)合題意3ⁿ=81，解可得n=4；將n=4代入C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ中，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算可得答案．

解答：解：由二項(xiàng)式定理可得，C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=（1+2）ⁿ=81，即3ⁿ=81，解可得n=4；
若n=4，則C₄⁰+C₄¹+C₄²+…+C₄⁴=2⁴=16；
故答案為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，要靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理，發(fā)現(xiàn)C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=（1+2）ⁿ是解題的關(guān)鍵．