Question

9．已知點P是直線y=x+2與橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的一個公共點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為該橢圓的左右焦點，設(shè)|PF₁|+|PF₂|取得最小值時橢圓為C．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A，B是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的兩點，Q是橢圓C上異于A，B的任意一點，直線QA，QB分別與y軸交于點M（0，m），N（0，n），試判斷mn是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將y=x+2代入橢圓方程，由直線y=x+2與橢圓有公共點，△≥0解得：a≥$\sqrt{3}$，又由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|=2a，故當(dāng)a=$\sqrt{3}$時，|PF₁|+|PF₂|取得最小值，即可求得橢圓C的方程；
（2）由k_QA=k_QM，則求得直線方程y₀-m=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，求得m=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，同理可知：n=$\frac{{x}_{0}y-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，mn=$\frac{{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}-{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$，由y₁²=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}$，y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$，代入即可求得mn=1．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，
∵直線y=x+2與橢圓有公共點，
則△=16a⁴-4（a²+1）×3a²≥0，則a²≥3，解得：a≥$\sqrt{3}$，
又由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|=2a，
故當(dāng)a=$\sqrt{3}$時，|PF₁|+|PF₂|取得最小值，
此時橢圓C的方程橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
   （2）設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），
∵k_QA=k_QM，
∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$，
即y₀-m=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
∴m=y₀-$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
同理，得n=$\frac{{x}_{0}y-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴mn=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{0}y-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}-{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$，
又A，Q在橢圓上，則$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}+{y}_{1}^{2}=1$，$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}+{y}_{0}^{2}=1$，y₁²=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}$，y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$
∴mn=$\frac{{x}_{0}^{2}（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{3}）-{x}_{1}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{3}）}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$，$\frac{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=1，
∴mn為定值1．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．