Question

設(shè)f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R），若f（x）在x=x₀處取得極小值，x₀∈（1，3），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=x₀處取得極小值，x₀∈（1，3），建立不等式，即可求a的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=x²+2ax-1-2a，由f'（x）=0得x²+2ax-1-2a=0
（i）當(dāng)-

2

-1≤a≤

2

-1時(shí)，f（x）沒有極小值；
（ii）當(dāng)a＞

2

-1或a＜-

2

-1時(shí)，由f'（x）=0得x1=-a-

a2+2a-1

，x2=-a+

a2+2a-1

故x₀=x₂．
由題設(shè)知1＜-a+

a2+2a-1

＜3，
當(dāng)a＞

2

-1時(shí)，不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3無(wú)解；
當(dāng)a＜-

2

-1時(shí)，解不等式1＜-a+

a2+2a-1

＜3得-

5

2

＜a＜-

2

-1
綜合（i）（ii）得a的取值范圍是(-

5

2

，-

2

-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查解不等式，確定極值點(diǎn)是關(guān)鍵．