Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知AB=AD=4，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=，
（1）求AC₁的長；
（2）求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，O在∠BAD的平分線上，說明∠BAD的平分線即菱形ABCD的對角線AC，求AC₁的長
（2）求出底面面積，求出高，即可求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．
解答：解：（1）記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分線上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分線即菱形ABCD的
對角線AC，故O在AC上；∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB
∴cos∠A₁AO=，∴sin∠A₁AO=，AO=
cos∠ACC₁=-；又AC=4，在△ACC₁中由余弦定理得AC₁=9；
所以AC₁=9；

（2）在△A₁AO中，A₁O=，
V_{ABCD-A1B1C1D1}==24．
 注：求AC₁的長還可以用向量：，平方即可．
點評：本題考查幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．解題關鍵在于，正確解三角形．