Question

如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．

圖①圖②

(1)求證：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線(xiàn)AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B-DEG的體積．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】(1)證明：在題圖①中，

∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.

∵CD為∠ACB的平分線(xiàn)，

∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2.

∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.

則CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°.DE⊥DC.

在題圖②中，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，∴DE⊥平面BCD.

(2)【解析】
在題圖②中，∵EF∥平面BDG，EF平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.

∵點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，CE＝4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴AE＝EG＝CG＝2.

作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，

∴BH⊥平面ACD.由條件得BH＝.S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin30°＝.

三棱錐B-DEG的體積V＝S△DEG·BH＝××＝