Question

己知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)T（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為．
（I）求p與m的值；
（II）如圖，過點(diǎn)M（0，1）作兩條直線l₁，l₂，l_l與拋物線交于點(diǎn)A，B，l₂與拋物線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且直線AE，BF交于點(diǎn)P，直線AF，BE交于點(diǎn)Q，求證：是定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)A（m，4）到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，求得p，則拋物線方程可得，把點(diǎn)A代入拋物線方程即可求得m．
（II）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立，進(jìn)而可得直線AE、BF；AF，BE的方程，從而可得P、Q的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可得證．
解答：（Ⅰ）解：由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：y=-
根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)A（m，4）到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，
即4+=，解得p=
∴拋物線方程為：x²=y，
將A（m，4）代入拋物線方程可得m²=4，解得m=±2
（II）證明：直線l₁的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得x²-kx-1=0
設(shè)A（x₁，），B（x₂，），∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
設(shè)E，F(xiàn)，則可得x₃x₄=-1
直線AE的斜率是k_AE=x₁+x₃，方程為y=（x₁+x₃）x-x₁x₃
同理直線BF的方程為y=（x₂+x₄）x-x₂x₄
設(shè)P（m₁，n₁），則，=-1
同理可得Q（，-1）
∴=（，-2），=（，-2）
∴==-1+4=3為定值．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．