Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a_n≠0，公差d≠0．
（1）試證：；；；
（2）根據(jù)（1）中的幾個等式，試歸納出更一般的結論，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）把三個式子分別通分后，利用等差數(shù)列的性質化簡即可得證；（2）根據(jù)第一問的三個等式，歸納總結出一般性的結論，然后利用數(shù)學歸納法假設n等于k時成立，當n等于k+1時，通分并利用等差數(shù)列的性質可得也成立，得到n大于等于2時，此一般性結論都成立．
解答：解：（1）證明：由{a_n}為等差數(shù)列可得a_n-a_n-1=d（n≥2），則-==得證；
==-+-=+=d•=得證；
==（-）-（-）
=-=3d•==得證．
（2）結論：，
證：①當n=2，3，4時，等式成立，
②假設當n=k時，成立，
那么當n=k+1時，因為C_k^i-1=C_k-1^i-1+C_k-1^k-2，所以=====，
所以，當n=k+1時，結論也成立．
綜合①②知，對n≥2都成立．
點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的性質化簡求值，要求學生會根據(jù)特殊的等式歸納總結出一般性的結論并會利用數(shù)學歸納法進行證明，是一道中檔題．