Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD=DD₁=4，AD=AB=2，E、F分別為BC、CD₁中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅲ）求四棱錐F-BB₁D₁D的體積．

Answer 1

證明：
（I）連接BD₁，∵E、F分別為BC、CD₁中點(diǎn)；
∴EF∥BD₁，（2分）
又∵BD₁?平面BB₁D₁D，EF?平面BB₁D₁D
∴EF∥平面BB₁D₁D；（4分）（少一條件扣1分）
（Ⅱ）取CD中點(diǎn)M，連接BM，則DM=CM=2，
∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴四邊形ABMD是正方形，則DM=CM=BM=2，
∴BC⊥BD，（7分）（或由計(jì)算證明）
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有BC⊥BB₁，且BD∩BB₁=B，
∴BC⊥平面BB₁D₁D；（9分）
（Ⅲ）取BD₁中點(diǎn)N，連接FN，則FN∥BC，（10分）
由（Ⅱ）知BC⊥平面BB₁D₁D，∴FN⊥平面BB₁D₁D，
則FN是四棱錐F-BB₁D₁D的高，且
∵S_{四邊形BB1D1D}=
∴（14分）
分析：（I）要證：EF∥平面BB₁D₁D，根據(jù)線面平行的判定定理可知：只需證EF∥BD₁即可．
（Ⅱ）要證：BC⊥平面BB₁D₁D；根據(jù)線面垂直的判定定理可知：只需證：BC⊥BD的BC⊥BB₁，即可．
（Ⅲ）要求四棱錐F-BB₁D₁D的體積．關(guān)鍵是求高，即找底面的垂線，由（Ⅱ）知BC⊥平面BB₁D₁D，∴FN⊥平面BB₁D₁D，則FN是四棱錐F-BB₁D₁D的高，再求得S_{四邊形BB1D1D}，最后由體積公式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，還考查了輔助線的作法和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．