Question

已知點（1，）是函數f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=（n≥2）．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{}前n項和為T_n，問滿足T_n＞的最小正整數n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據點（1，）在f（x）=a^x上求出a的值，從而確定函數f（x）的解析式，再由等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c求出數列{a_n}的公比和首項，得到數列{a_n}的通項公式；由數列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=可得到數列{}構成一個首項為1公差為1的等差數列，進而得到數列{}的通項公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項公式．
（2）先表示出T_n再利用裂項法求得的表達式T_n，根據T_n＞求得n．
解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=a=
∴f（x）=（）^x，
∴a₁=f（1）-c=-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
又數列{a_n}成等比數列，
=-，
∵a₁=-c
∴-=-c，∴c=1
又公比q==
所以a_n=（）^n-1=-（）ⁿ，n∈N；
∵S_n-S_n-1==（n≥2）
又b_n＞0，＞0，∴=1；
∴數列{}構成一個首項為1公差為1的等差數列，
∴=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
當n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1適合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（Ⅱ）T_n=++…+=
=（1-）+（-）+（）+…+=（1-）=
由＞，得n＞
滿足的最小正整數為84．
點評：本題主要考查等差數列和等比數列的通項公式及數列的求和問題．考查學生綜合分析問題的能力．