Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+3，x∈[-4，6]，
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）的值域；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x），并對(duì)f（x）進(jìn)行配方，這樣即可看出x∈[-4，6]時(shí)，f（x）的最值，從而求出f（x）的值域；
（Ⅱ）求f（x）的對(duì)稱軸，則根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[-4，6]應(yīng)在對(duì)稱軸的左邊或右邊，這樣即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1；
∴x=2時(shí)，f（x）取最小值-1，x=-4時(shí)，f（x）取最大值35；
∴a=-2時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇-1，35]；
（Ⅱ）f（x）=（x+a）²+3-a²；
∴x∈（-∞，-a）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，x∈[-a，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
∴要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)，則a滿足：
-a≤-4，或-a≥6，解得a≥4，或a≤-6；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-6]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查通過配方求二次函數(shù)值域的方法，以及二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸的關(guān)系．