在正三角形中,、、分別是、、邊上的點(diǎn),滿足(如圖1).將△沿折起到的位置,使二面角成直二面角,連結(jié)、(如圖2)
    
(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

(Ⅰ)取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF∵AEEB=CFFA=12,∴AF=AD=2,而∠A=600,∴△ADF是正三角形,AE=DE=1,∴EF⊥AD,在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角.∴A1E⊥BE∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP(Ⅱ)

解析試題分析:不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長(zhǎng)為 3 .

(I)在圖1中,取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF.
∵AEEB=CFFA=12,∴AF=AD=2,而∠A=600,∴△ADF是正三角形,
又AE=DE=1,∴EF⊥AD.    2分
在圖2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角.
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,∴A1E⊥BE.
又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.   .4分
(II)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),則,
設(shè)平面ABP的法向量為,
平面ABP知,,即
,得
,設(shè)平面AFP的法向量為
平面AFP知,,即
,得,
,
所以二面角B-A1P-F的余弦值是               13分
考點(diǎn):線面垂直的判定及二面角的求解
點(diǎn)評(píng):證明線面垂直主要通過(guò)已知中的垂直的直線來(lái)推理,其重要注意翻折前后保持不變的量;第二問(wèn)二面角的求解充分把握好從點(diǎn)E出發(fā)的三線兩兩垂直建立空間坐標(biāo)系,通過(guò)兩面的法向量的夾角得到二面角

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)證明: .

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