Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸

長(zhǎng)的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢

圓C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的取值范圍；

y

（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）見解析

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的總額和運(yùn)用。

（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（＞＞0）

由題意，結(jié)合性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值

（2）

設(shè)：由

聯(lián)立方程組，然后根據(jù)判別式大于零得到m的范圍。

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，

設(shè)MA交軸于點(diǎn)P，MB交軸于點(diǎn)Q

       MA的方程為：

令，可得P（）=

同理得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后結(jié)合中點(diǎn)公式，得到并證明。

解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（＞＞0）

由題意

解得

C的方程為              ………………4分

（2）

設(shè)：由

消去得 

直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

式有兩個(gè)不等實(shí)根

則＞0

解得＜＜2     又

的取值范圍為          ………………8分

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，

設(shè)MA交軸于點(diǎn)P，MB交軸于點(diǎn)Q

       MA的方程為：

令，可得P（）=

同理可得Q

設(shè)PQ的中點(diǎn)為N，則

由②知

又

MPQ的中線MNPQ

MPQ為等腰三角形                     ………………12分

注：其他正確解法請(qǐng)按步驟酌情給分。