Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）試問(wèn)數(shù)列能否為等比數(shù)列．若是等比數(shù)列，請(qǐng)寫出相應(yīng)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴a₂+2a₁=2²，a₃+2a₂=2³，
∴a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，∴2（-2a+4）=a+4a，∴（4分）
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/118097.png' />，所以，（6分）
得：，故若是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，則必須a≠1．
故a≠1時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列，此時(shí)，否則當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列的首項(xiàng)為0，該數(shù)列不是等比數(shù)列．
分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，對(duì)n取值，再利用a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）條件等價(jià)于，故若是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，則必須首項(xiàng)不為0，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的判斷，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．