Question

14．已知函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（2+x）=f（2-x），若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），則x的取值范圍是（-2，0）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，f（x）在（-∞，2）上單調(diào)第減，由不等式可得|（1-2x²）-2|＜|（1+2x-x²）-2|，化簡(jiǎn)求得x的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（2+x）=f（2-x），
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，∴f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，
故由f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），可得|（1-2x²）-2|＜|（1+2x-x²）-2|，
即2x²+1＜x²-2x+1，即 x²+2x＜0，求得-2＜x＜0，
故答案為：（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．