Question

如圖，α和β為平面，α∩β＝l，A∈α，B∈β，AB＝5，A，B在棱l上的射影分別為．若二面角α―l―β的大小為，求：

(Ⅰ)點(diǎn)B到平面α的距離；

(Ⅱ)異面直線l與AB所成的角(用反三角函數(shù)表示)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如上圖，過點(diǎn)作直線C∥A．且使C＝A．過點(diǎn)B作BD⊥C，交C的延長線于D． 　　由已知A⊥l，可得D⊥l，又已知B⊥l，故l⊥平面BD，得BD⊥l．又因BD⊥C，從而BD⊥平面，BD之長即為點(diǎn)B到平面α的距離． 　　因C⊥l且B⊥l，故∠BC為二面角的平面角． 　　由題意，∠BC＝．因此在Rt△BD中，B＝2，∠BD＝∠BC＝，BD＝B·sinBD＝． 　　(Ⅱ)連接AC、BC．因C∥A，C＝A，A⊥l，知AC為矩形，故AC∥l．所以∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線l與AB所成的角． 　　在△BC中，B＝2，C＝3，∠BC＝，則由余弦定理， 　　． 　　因BD平面，且DCCA，由三垂線定理知ACBC． 　　故在△ABC中，∠BCA＝，sinBAC＝． 　　因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin．

提示：

本題主要考查立體幾何中的主干知識(shí)，如線線角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解題的關(guān)鍵是線面平行、三垂線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，本題屬中等題．