Question

已知函數(shù)f（x）滿足，
（Ⅰ）求f（x）的解析式并判斷其單調(diào)性；
（Ⅱ）對(duì)定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）-4＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令log_ax=t，x＞0，則t∈R，x=a^t，代入得f（t）=（a^t-a^-t），由此能求出f（x）的解析式并判斷其單調(diào)性．
（2）由f（x）是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），f（1-m）+f（1-m²）＜0，知，由此能求出m的取值范圍．
（3）由f（x）-4＜0，在區(qū)間（-∞，2）上恒成立，知f（x）_max＜4．由f（x）是增函數(shù)，令x=2，代入方程，得＜4．由此能求出a的范圍．
解答：解：（1）令log_ax=t，x＞0，則t∈R，x=a^t，
代入得f（t）=（a^t-a^-t），
將t換成x，得到表達(dá)式f（x）=（a^x-a^-x），x∈R．
∴f′（x）=（a^x㏑a+a^-xlna）
=×lna×（a^x+a^-x）＞0
∴函數(shù)f（x）=（a^x-a^-x），x∈R，是增函數(shù)．
（2）∵f（x）=（a^x-a^-x），x∈R，
∴f（-x）=（a^-x-a^x）=-f（x）．
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∵定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∵f（x）是增函數(shù)，
∴，解得0＜m＜1．
∴m的取值范圍是（0，1）．
（3）∵f（x）-4＜0，在區(qū)間（-∞，2）上恒成立，
∴f（x）＜4恒成立，∴f（x）_max＜4．
∵f（x）是增函數(shù)，
令x=2，代入方程，得＜4．
整理得a²-4a+1＜0，
解得-+2＜a＜+2
又∵a＞0且a≠1取交集，
∴a的范圍是（-+2，1）∪（1，+2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．