Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（I）求證：CE∥平面ABGF；
（II）設(shè)BC=1，求點(diǎn)B到平面CEG的距離．

Answer 1

分析：（I）連接BF，由BC和EF平行且相等，證明四邊形BCEF為平行四邊形，故有CE∥BF．再利用直線和平面平行的判定定理證得得CE∥平面ABGF．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B到平面CEG的距離為h，則點(diǎn)B到平面CEG的距離等于點(diǎn)F到平面CEG的距離，由等體積法可得

1

3

×S_△CEG×h=

1

3

×S_△EFG×FA．求得S_△CEG和S_△EFG的值以及FA的值，即可求得h的值，即為所求．

解答：解：（I）連接BF，由題意可得BC和EF平行且相等，故四邊形BCEF為平行四邊形，故有CE∥BF．
再根據(jù)BF?平面ABGF，CE不在平面ABGF 內(nèi)，可得CE∥平面ABGF．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B到平面CEG的距離為h．
由（Ⅰ）知：BF∥CE，可得BF∥平面CEG，
故點(diǎn)B到平面CEG的距離等于點(diǎn)F到平面CEG的距離，
所以V_B-CEG=V_F-CEG=V_C-EFG =

1

3

×S_△CEG×h=

1

3

×S_△EFG×FA．
依題意，在△CGE中，CG=

6

，CE=2

2

，GE=

2

，
因?yàn)镃G²+GE²=CE²，所以S_△CEG=

1

2

CG×GE=

3

．
在Rt△EFG中，S_△EFG=

1

2

，又FA=2，∴由

1

3

×S_△CEG×h=

1

3

×S_△EFG×FA，可得

1

3

×

3

×h=

1

3

×

1

2

×2，
由此求得點(diǎn)B到平面CEG的距離為h=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．