Question

已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線l₁垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在l₁上，且滿足OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l₂是曲線C的一條切線，當(dāng)點(diǎn)（0，2）到直線l₂的距離最短時(shí)，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)OP⊥OQ?k_OP•k_OQ=-1，求出曲線方程；
（2）設(shè)出直線直線l₂的方程，然后與曲線方程聯(lián)立，由于直線l₂與曲線C相切，得出二次函數(shù)有兩個(gè)相等實(shí)根，求出b=-

k2

2

，再由點(diǎn)到直線距離公式表示出d，根據(jù)a+b≥2

ab

，求得b的值，即可得到直線方程．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-2）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1．
當(dāng)x≠0時(shí)，得

y

x

•

-2

x

=-1，化簡(jiǎn)得x²=2y．（2分）
當(dāng)x=0時(shí)，P、O、Q三點(diǎn)共線，不符合題意，故x≠0．
∴曲線C的方程為x²=2y（x≠0）．（4分）
（2）∵直線l₂與曲線C相切，∴直線l₂的斜率存在．
設(shè)直線l₂的方程為y=kx+b，（5分）
由

y=kx+b x2=2y

得x²-2kx-2b=0．
∵直線l₂與曲線C相切，
∴△=4k²+8b=0，即b=-

k2

2

．（6分）
點(diǎn)（0，2）到直線l₂的距離d=

|-2+b|

k 2   +1

=

1

2

•

k 2   +4

k 2   +1

（7分）=

1

2

(

k 2   +1

+

3

k 2   +1

)（8分）≥

1

2

×2

k 2   +1 • 3 k 2   +1

（9分）=

3

．（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)

k 2   +1

=

3

k 2   +1

，即k=±

2

時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)b=-1．（12分）
∴直線l₂的方程為

2

x-y-1=0或

2

x+y+1=0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線和直線的方程以及二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，對(duì)于（2）問(wèn)關(guān)鍵是利用了a+b≥2

ab

，求出b的值．屬于中檔題．