Question

關(guān)于x、y的方程x²+xy+2y²=29的整數(shù)解（x、y）的組數(shù)為（　　）

A．2組

B．3組

C．4組

D．無窮多組

Answer 1

分析：根據(jù)原方程的形式，將其看成是關(guān)于x的方程，則字母y變成方程的參數(shù)系數(shù)，利用一元二次方程根的判別式得△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，再根據(jù)方程有整數(shù)解，說明這個(gè)根的判斷式應(yīng)該是平方數(shù)，由此可能得到的y²的取值為0、1、4、9或16，再經(jīng)過討論，可以得到符合題目的四組整數(shù)解．

解答：解：可將原方程視為關(guān)于x的二次方程，將其變形為x²+yx+（2y²-29）=0
由于該方程有整數(shù)根，根據(jù)判別式△≥0，且是完全平方數(shù)
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0解得y²≤

116

7

≈16.57

y2	0	1	4	9	16
△	116	109	88	53	4

顯然只有y²=16時(shí)，△=4是完全平方數(shù)，符合要求
當(dāng)y=4時(shí)，原方程為x²+4x+3=0，此時(shí)x₁=-1，x₂=-3
當(dāng)y=-4時(shí)，原方程為x²-4x+3=0，此時(shí)x₃=1，x₄=3
所以，原方程的整數(shù)解為

x 1=-1 y1=4

，

x 2=-3 y2=4

，

x 3=1 y3=-4

，

x 4=3 y4=-4

．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元二次方程組的整數(shù)解問題，屬于難題．分清題中的主元與次元，巧妙地利用關(guān)于x的一元二次方程，用根的判別式解題，是本題的關(guān)鍵所在．