Question

（2013•鹽城二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E為的PC中點．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面PBC⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接EO，利用三角形的中位線定理可得PA∥EO，再利用線面平行的判定定理即可得出；
（2）利用“三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形”即可得到∠APC=90°得到PC的長，再利用勾股定理得到逆定理可得∠BED=90°；利用等腰三角形的性質可得BE⊥PC，利用線面垂直的判定定理即可得到BE⊥平面PDC，再利用面面垂直的判定定理即可證明面面垂直．

解答：證明（1）連接AC交BD于O，連接EO，PO．
∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC中點，
又E為PC中點．∴PA∥EO．
又EO?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，易得AO=CO=PO=

3

，
∴∠APC=90°，∴PC=2

2

，
∴PD²+DC²=PC²，∴∠PDC=90°，在△PDC中可求得DE=

2

，
同理在△PBC中可求得BE=

2

，
∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE．
又PB=BC，E為PC中點，∴BE⊥PC．
又PC∩DE=E，
∴BE⊥面PDC，又BE?面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、“三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形”、勾股定理得到逆定理、等腰三角形的性質、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理是解題的關鍵．