Question

15．已知函數(shù)f（x）=x⁴-2x³，g（x）=-4x²+4x-2，x∈R．
（1）求f（x）的最小值；
（2）證明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=4x³-6x²=2x²（2x-3），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-2x³+4x²-4x+2，x∈R．可得F′（x）=4x³-6x²+8x-4．由于F^″（x）=12x²-12x+8＞0．可得函數(shù)F′（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)F′（x）在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)．又F′（0）=-4＜0，F(xiàn)′（1）=2＞0，可得函數(shù)F′（x）在R上存在一個(gè)零點(diǎn)x₀∈（0，1）．只要證明F（x）_min=F（x₀）＞0，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=4x³-6x²=2x²（2x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，令f′（x）≤0，解得：x≤$\frac{3}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{81}{16}$-2×$\frac{27}{8}$=-$\frac{27}{16}$；
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-2x³+4x²-4x+2，x∈R．
則F′（x）=4x³-6x²+8x-4．
∴F^″（x）=12x²-12x+8=12$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+5＞0．
∴函數(shù)F′（x）在R上單調(diào)遞增，∴函數(shù)F′（x）在R上至多存在一個(gè)零點(diǎn)．
又F′（0）=-4＜0，F(xiàn)′（1）=2＞0，
∴函數(shù)F′（x）在R上存在一個(gè)零點(diǎn)x₀∈（0，1）．
∴2${x}_{0}^{3}$-3${x}_{0}^{2}$+4x₀-2=0．
∴函數(shù)F（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減；在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴F（x）_min=F（x₀）=${x}_{0}^{4}$-2${x}_{0}^{3}$+$4{x}_{0}^{2}$-4x₀+2=$（\frac{1}{2}{x}_{0}-\frac{1}{4}）$（2${x}_{0}^{3}$-3${x}_{0}^{2}$+4x₀-2）+$\frac{5}{4}$${x}_{0}^{2}$-2x₀+$\frac{3}{2}$
=$\frac{5}{4}（{x}_{0}-\frac{4}{5}）^{2}$+$\frac{3}{10}$＞0，
∴f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值、函數(shù)零點(diǎn)、分類(lèi)討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．