Question

若已知數列{a_n}是首項為6-12t，公差為6的等差數列；數列{b_n}的前n項和為S_n=3ⁿ-t．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}是等比數列．試證明：對于任意的n（n∈N^*，n≥1），均存在正整數c_n，使得b_n+1=a_cn，并求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用數列{a_n}是首項為6-12t，公差為6的等差數列，可求數列{a_n}的通項公式，利用S_n=3ⁿ-t，再寫一式，即可求出{b_n}的通項公式；
（2）先確定t的值，可得數列的通項，要使bn+1=acn成立，則bn+1=2×3n=6cn-12，利用cn=3n-1+2，而對任意的n（n∈N^*，n≥1），3^n-1+2為正整數，利用數列的求和公式，即可得出結論．

解答： （1）解：∵數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=（6-12t）+6（n-1）=6n-12t
而數列{b_n}的前n項和為Sn=3n-t．
∴當n≥2時，bn=(3n-t)-(3n-1-t)=2×3n-1
∴bn=

3-t，n=1 2×3n-1，n≥2

（2）證明：∵數列{b_n}是等比數列，∴3-t=2×3^1-1=2，∴t=1
∴a_n=6n-12，bn=2×3n-1
而bn+1=2×3n，acn=6cn-12，
要使bn+1=acn成立，則bn+1=2×3n=6cn-12，
∴cn=3n-1+2，而對任意的n（n∈N^*，n≥1），3^n-1+2為正整數
∴對任意的n（n∈N^*，n≥1），均存在正整數c_n，使得bn+1=acn成立．
∴數列{c_n}的前n項和Tn=2n+

1×(1-3n)

1-3

=

3n-1

2

+2n

點評：本題考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，正確應用等差數列、等比數列的通項公式是關鍵．