Question

在“猜數(shù)字”的游戲中，主持人在1～127中確定一個(gè)數(shù)字作為目標(biāo)數(shù)字，記在心里，讓小光來猜，如果沒有猜對(duì)，主持人會(huì)告訴小光，他猜的數(shù)字比目標(biāo)數(shù)字大還是小，再讓他猜，直到猜出目標(biāo)數(shù)字為止．小光決定每次選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標(biāo)數(shù)字，因?yàn)檫@樣能最有效地縮小范圍．
（1）如果主持人確定的目標(biāo)數(shù)字是48，小光需要經(jīng)過幾次猜測(cè)，才能正確猜出目標(biāo)數(shù)字？
（2）如果主持人等可能地在1～127中隨機(jī)確定一個(gè)數(shù)字作為目標(biāo)數(shù)字，小光平均要經(jīng)過幾次猜測(cè)才能正確猜出目標(biāo)數(shù)字？

Answer 1

解：可把1，2，3，，127這127個(gè)自然數(shù)看成是開區(qū)間（0，128）中的自然數(shù)
（1）當(dāng)目標(biāo)數(shù)字是48時(shí)，每次選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標(biāo)數(shù)字
可猜64，32，48共3次可猜出目標(biāo)；
（2）選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標(biāo)，相當(dāng)于要研究目標(biāo)數(shù)字中含因數(shù)2的情況，故可如下分類：
1×2°，3×2°，5×2°，…，127×2°這64個(gè)數(shù)均猜7次
1×2¹，3×2¹，5×2¹，…，63×2¹這32個(gè)數(shù)均猜6次
1×2²，3×2²，5×2²，…，31×2²這16個(gè)數(shù)均猜5次
1×2³，3×2³，5×2³，••，15×2³這8個(gè)數(shù)均猜4次
1×2⁴，3×2⁴，5×2⁴，7×2⁴這4個(gè)數(shù)均猜3次
1×2⁵，3×2⁵這2個(gè)數(shù)均猜2次
1×2⁶這1個(gè)數(shù)只猜1次
平均期望次數(shù)為+2×2+1×1）=6.055
分析：（1）由題意知當(dāng)目標(biāo)數(shù)字是48時(shí)，每次選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標(biāo)數(shù)字可猜64，32，48共3次可猜出目標(biāo)；
（2）選擇數(shù)字范圍中最中間的數(shù)來猜目標(biāo)，相當(dāng)于要研究目標(biāo)數(shù)字中含因數(shù)2的情況，列舉出可以猜出數(shù)字的所有情況，做出期望值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平均數(shù)，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，這種題目題意比較難理解，是一個(gè)中檔題目，解題的關(guān)鍵是看清題目的本質(zhì)．