設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.
分析:先把f(x)的解析式變形,用分離常數(shù)法,然后用均值不等式求出最小值,本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是12個(gè),滿足條件的事件是10個(gè),列舉出結(jié)果.
解答:解:x>1,a>0,f(x)=ax+
x-1+1
x-1
=ax+
1
x-1
+1

=a(x-1)+
1
x-1
+1+a
≥2
a
+1+a=(
a
+1)
2

當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
a
+1
>1時(shí),取“=”,∴f(x)min=(
a
+1)2
,
于是f(x)>b恒成立就轉(zhuǎn)化為(
a
+1)2>b
成立.
設(shè)事件A:“f(x)>b恒成立”,則
基本事件總數(shù)為12個(gè),即
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5);
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5);
(3,2),(3,3),(3,4),(3,5);
事件A包含事件:(1,2),(1,3);
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5);
(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)共10個(gè)
由古典概型得P(A)=
10
12
=
5
6
點(diǎn)評(píng):在使用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)該注意:(1)要判斷該概率模型是不是古典概型;(2)要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù);當(dāng)解析式中含有分式,且分子分母是齊次的,注意運(yùn)用分離常數(shù)法來(lái)進(jìn)行式子的變形,在使用均值不等式應(yīng)注意一定,二正,三相等.
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12
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-1
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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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