Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1a_n=（n+1）²（n+2）²，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 a₁=4，a_n+1a_n=（n+1）²（n+2）²，可得a₂=9，a₃=16，…，猜想a_n=（n+1）²．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵a₁=4，a_n+1a_n=（n+1）²（n+2）²，
∴a₂=9，a₃=16，…，猜想a_n=（n+1）²．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4=（1+1）²，成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)成立，即${a}_{k}=（k+1）^{2}$，
又a_k+1a_k=（k+1）²（k+2）²，
∴a_k+1=（k+2）²=（k+1+1）²，
即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
綜上可得：對(duì)于?n∈N^*，a_n=（n+1）²成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了猜想能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．