Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若a+c=4，求AC邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理，將邊b，c，a代換成sinB sinC sinA，再利用兩角和正弦公式求B
（Ⅱ）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，利用三邊a，b，c用余弦等量將中線(xiàn)BE表示出來(lái)，再用基本不等式求最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：2bcosB=ccosA+acosC，
2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
2sinBcosB=sinB，
．
（Ⅱ）如圖：設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，
在△BAE中，由余弦定理得：，
又，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得
BE²=
=，當(dāng)a=c=2時(shí)取到”=”
所以AC邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，用基本不等式求最值．考查分析解決、計(jì)算能力．