Question

 長沙市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB = AD = 4萬米，BC = 6萬米，CD = 2萬米．

（1）請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請在圓弧上設計一點P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）因為四邊形ABCD內(nèi)接于圓，所以∠ABC    +∠ADC = 180°，連接AC，由余弦定理：

AC² = 4² + 6² – 2×4×6×cos∠ABC = 4² + 2² – 2×2×4 cos∠ADC．

所以cos∠ABC =，∵∠ABC∈(0，)，故∠ABC = 60°．

S_{四邊形ABCD} = ×4×6×sin60°+×2×4×sin120°= 8（萬平方米）．………………4分

在△ABC中，由余弦定理：

AC² = AB² + BC ²– 2AB·BC·cos∠ABC

   = 16 + 36 – 2×4×6×．

   AC = ．…………………………6分

由正弦定理，

∴

∴（萬米）．………………8分

（2）∵S_{四邊形APCD} = S_△ADC + S_△APC

又S_△ADC = AD·CD·sin120°= 2，

設AP = x， CP = y．

則S_△APC = ．……………………10分

又由余弦定理AC² = x² + y² – 2xy cos60°

= x² + y² – xy

= 28．

∴x² + y² – xy≥2xy – xy = xy．

∴xy≤28     當且僅當x = y時取等號……………………12分

∴S_{四邊形APCD} = 2+

∴最大面積為9萬平方米．…………………………13分．