如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)x0=1-時(shí),切線MA的斜率為-.

(1)求p的值;

(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).

 

【答案】

(1)2 (2) x2=y

【解析】

解:(1)因?yàn)閽佄锞�C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y′=,且切線MA的斜率為-,

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為.

故切線MA的方程為y=-(x+1)+ .

因?yàn)辄c(diǎn)M(1-y0)在切線MA及拋物線C2上,于是

y0=-(2-)+=-, ①

y0=-=-. ②

由①②得p=2.

(2)設(shè)N(x,y),A,B,

x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn)知

x=, ③

y=. ④

切線MA,MB的方程為

y=(x-x1)+ , ⑤

y=(x-x2)+ . ⑥

由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為

x0=,y0=.

因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,

即=-4y0,

所以x1x2=-. ⑦

由③④⑦得

x2=y,x≠0.

當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=y.

因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y.

 

練習(xí)冊系列答案
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如圖所示的曲線C是由部分拋物線C 1：y=x2-1（|x|≥1）和曲線C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直線l與曲線C1相切于點(diǎn)M，與曲線C2相切于點(diǎn)N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）當(dāng)t=
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時(shí)，求m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，∠MAB=∠NAB？并求出此時(shí)直線l的方程．

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（2012•鹽城一模）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，因制作一個(gè)工藝品的需要，某小組設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤
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）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C1是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式為y=cosx-1），此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為h1（t）；曲線C2是一段拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
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，此時(shí)記門的最高點(diǎn)O到BC邊的距離為h2（t）．
（1）試分別求出函數(shù)h1（t）、h2（t）的表達(dá)式；
（2）要使得點(diǎn)O到BC邊的距離最大，應(yīng)選用哪一種曲線？此時(shí)，最大值是多少？

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如圖所示，已知拋物線C1：x2=y，圓M：x2+（y-4）2=1，點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，設(shè)拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F2，且其準(zhǔn)線與x軸交于F1，以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率e=
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的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C2的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF1F2的三條邊的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請說明理由．

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