Question

已知函數(shù)f （x）=
（1）求f （x）的定義域．
（2）用定義判斷f （x）的奇偶性．
（3）在[-π，π]上作出函數(shù)f （x）的圖象．
（4）指出f （x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)分母不為零和二次根據(jù)的被開方數(shù)非負(fù)，列式：1+cos2x＞0，解之可得函數(shù)的定義域；
（2）首先根據(jù)（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再通過化簡f（-x）得-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）化簡函數(shù)：f （x）== x∈[-π，π]，可由正切函數(shù)圖象變換作圖；
（4）根據(jù)三角函數(shù)周期的定義可得周期為2π，再根據(jù)（3）的圖象，可以寫出函數(shù)的增區(qū)間．
解答：解：（1）由1+cos2x＞0得2cos²x＞0∴cosx≠0即x≠kπ+，（k∈z）
∴函數(shù)f （x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+，k∈z|}
（2）∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且對任意的定義域中x，
f （-x）=
∴f （x）為奇函數(shù)．
（3）f （x）=又x∈[-π，π]
且x≠-
∴f（x）=
作f （x）圖象如圖：

（4）由圖知，f（x）的最小正周期為2π．
f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）（k∈z）
點(diǎn)評：本題綜合了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的周期性、單調(diào)性和奇偶性等知識，著重考查了基本公式和基本概念，是一道中檔題．