Question

已知正三棱柱ABC-A′B′C′（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面）的正視圖和側(cè)視圖如圖所示．設△ABC、△A′B′C′的中心為O，O′，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)．射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度（x可取任一實數(shù)，逆時針為正角，順時針為負角）．對應的俯視圖的面積為S（x），則S（x）的最小正周期和值域分別為（　�。�

• A、

  2π

  3

  ，[4，8]
• B、

  2π

  3

  ，[4

  3

  ，8]
• C、

  π

  3

  ，[4，8]
• D、

  π

  3

  ，[4

  3

  ，8]

Answer 1

考點：簡單空間圖形的三視圖

專題：常規(guī)題型,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值，最小值時的位置，即可求解結(jié)果．

解答： 解：由題意可知，正三棱柱的底面三角形的高為

3

，正三角形的邊長為2，
俯視圖是矩形，當此三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中對應的俯視圖，底面正三角形的邊在俯視圖中為矩形的邊長時，俯視圖的面積最大，則S的最大值為：2×4=8．
底面正三角形的高在俯視圖中為矩形的邊長時，俯視圖的面積最小，則S的最小值為：

3

×4=4

3

．則值域為[4

3

，8]．
因為正三角形的內(nèi)角均為60°，所以函數(shù)S（x）的最小正周期為

π

3

．
故選：D．

點評：本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值，最小值時的位置．