Question

設(shè)p：若不等式x²+ax+1≥0對(duì)于一切x∈R成立；q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸正半軸交于不同的兩點(diǎn)，如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：命題p：若不等式x²+ax+1≥0對(duì)于一切x∈R成立，則△≤0，解得a；命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與與x軸正半軸交于不同的兩點(diǎn)，則

- 2a-3 2 ＞0 f(- 2a-3 2 )＜0 f(0)＞0

，解得a．由于p且q為假命題，p或q為真命題，可得p與q必然一真-假．

解答： 解：命題p：若不等式x²+ax+1≥0對(duì)于一切x∈R成立，則△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2；
命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與與x軸正半軸交于不同的兩點(diǎn)，則

- 2a-3 2 ＞0 f(- 2a-3 2 )＜0 f(0)＞0

，解得a＜

1

2

．
∵p且q為假命題，p或q為真命題，
∴p與q必然一真-假．
p真q假時(shí)，

-2≤a≤2 a≥ 1 2

，解得

1

2

≤a≤2．
q真p假時(shí)，

a＞2或a＜-2 a＜ 1 2

，解得a＜

1

2

．
綜上可得：a的取值范圍是(-∞，

1

2

)∪[

1

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合命題的真假判定方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．