Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
①對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；
②f（1）=2；
③f（x）在[0，1]上為增函數(shù)．
（Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅲ）（說明：請(qǐng)?jiān)冢á。�、（ⅱ）問中選擇一問解答即可．）
（ⅰ）設(shè)a，b，c為周長(zhǎng)不超過2的三角形三邊的長(zhǎng)，求證：f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)；
（ⅱ）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y），
取x=y=0，得f（1）=f（1）-[f（0）]²，解得f（0）=0，
取x=-1，y=1，得f（1）=f（-1）-f（-1）f（1），
又f（1）=2，所以2=f（-1）-2f（-1），解得f（-1）=-2，
所以f（-1）=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜測(cè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明如下：
取x=-1，得f（y）=f（-y）-f（-1）f（y），即f（y）=f（-y）+2f（y），
所以f（-y）=-f（y），即對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有f（-y）=-f（y）；
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）（i）證明：因?yàn)閍，b，c為周長(zhǎng)不超過2的三角形三邊的長(zhǎng)度，
所以0＜a，b，c＜1，不妨設(shè)c≥b≥a，由條件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，
為了證明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三邊的長(zhǎng)”，只需證f（a）+f（b）＞f（c），
因?yàn)閍，b，c為周長(zhǎng)不超過2的三角形三邊的長(zhǎng)度，所以1＞＞＞0，1≥1-＞1-＞0，
又因?yàn)閒（x）在[0，1]上為增函數(shù)，所以f（）＞f（）＞0，f（1-）＞f（1-）＞0，
所以f（a）+f（b）=f（a）-f（-b）=f（1-）•f（）＞f（1-）•f（）=f（2-c）-f（2），
在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1-c得f（2-c）=f（c）；
分析：（Ⅰ）賦值法：由①取x=y=0，可求得f（0），取x=-1，y=1及條件②可求得f（-1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜測(cè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在①中取x=-1，根據(jù)奇函數(shù)定義即可證明；
（Ⅲ）因?yàn)閍，b，c為周長(zhǎng)不超過2的三角形三邊的長(zhǎng)度，所以0＜a，b，c＜1，不妨設(shè)c≥b≥a，由條件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，只需證f（a）+f（b）＞f（c），由a，b，c為周長(zhǎng)不超過2的三角形三邊的長(zhǎng)度可得1≥1-＞1-＞0，由f（x）在[0，1]上的單調(diào)性及①即可證明；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，對(duì)能力要求較高．