Question

△ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量

m

=（2，-1），

n

=（sinBsinC，

3

+2cosBcosC），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大�。�
（2）現(xiàn)給出以下三個(gè)條件：①B=45°；②2sinC-（

3

+1）sinB=0；③a=2．試從中再選擇兩個(gè)條件以確定△ABC，并求出所確定的△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，化為cosA=

3

2

，即可得出．
（2）選擇①，③．或選擇②，③．利用正弦定理與余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．選擇①，②不能確定三角形．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinBsinC-2cosBcosC-

3

=0，
∴cos（B+C）=-

3

2

，
∴cosA=

3

2

，
又0°＜A＜180°，
∴A=30°．
（2）選擇①，③．
∵A═30°，B=45°，C=105°，a=2且sin105°=sin（45°+60°）=

6 + 2

4

，
c=

asinC

sinA

=

6

+

2

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

+1．
選②，③．∵A=30°，a=2，
∴2sinC=（

3

+1）sinB⇒2c=（

3

+1）b，
由余弦定理：a²=4=b²+（

3 +1

2

b）²-2b×

3 +1

2

b×

3

2

⇒b²=8 b=2

2

．
c=

3 +1

2

b=

6

+

2

，
∴S_△ABC=

3

+1．
選①，②不能確定三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦余弦公式、正弦定理與余弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．