Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，點(diǎn)M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
（Ⅰ）求證：AM⊥PD；
（Ⅱ）求二面角P-AM-N的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意可得：CD⊥平面PAD，即可得到CD⊥AM，PC⊥平面AMN，可得PC⊥AM，從而AM⊥平面PCD，即可得出結(jié)論；
（2）證明∠PMN為二面角P-AM-N的平面角，即可求解．

解答： （I）證明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．∴CD⊥平面PAD
∵AM?平面PAD，∴CD⊥AM．
∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM．∴AM⊥平面PCD．∴AM⊥PD
（II）解：∵AM⊥平面PCD（已證）．
∴AM⊥PM，AM⊥NM．∴∠PMN為二面角P-AM-N的平面角
∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM．
在直角△PCD中，不妨設(shè)CD=2，則PD=2

2

，∴PC=2

3

．
∵PA=AD，AM⊥PD，∴M為PD的中點(diǎn)，PM=

1

2

PD=

2

由Rt△PMN∽Rt△PCD，得MN=

CD•PM

PC

=

6

3

即二面角P-AM-N的正弦值是

6

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，因此由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵．